けけの日記

勉強していて分からなかったところをまとめる日記です。(主に物理･数学)偶に趣味について書きます。

パウリ常磁性について

問題を解いていて「あれ？解けない。」となったのでまとめでも作ろうと思いました。

 

パウリ常磁性はもともと磁化はないのに、低温で磁場をかけると磁化が生じる現象です。

パウリ磁化率まで出して終わりにしようと思います。

 

1次元理想電子気体を扱います。

系の長さをL、逆温度β、電子数Nとする。以下低温だと考える。

磁場Hの下でのハミルトニアン{\displaystyle \mathcal{H} } は

{\displaystyle \mathcal{H} = \sum_{j=1}^{N} (\epsilon_{j} - \mu_{0}H\sigma) }

ここで{\displaystyle \epsilon_{j} } はj番目の電子のエネルギーで、{\displaystyle \sigma = ± 1 } とする。

電子はフェルミオンなのでフェルミ・ディラック統計に従います。つまり分布関数f(ε)は

{\displaystyle　f(\epsilon_{j}) = 〈n_{j}〉 = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon_{j} + \mu )}+1}　}

{\displaystyle 〈n_{j}〉} は粒子数の期待値です。

状態密度{\displaystyle \nu(\epsilon) } をとすると全粒子数の期待値は

{\displaystyle〈N〉 = \int_{0}^{\epsilon_{f}} d\epsilon f(\epsilon) \nu(\epsilon) }

ここで {\displaystyle \epsilon_{f} }はフェルミエネルギーです。

磁化Mは

 {\displaystyle \mathrm{M} = \frac{\mu_{0}}{L}(N_{+} - N_{-}) }

{\displaystyle N_{+} } は 上向きスピン の電子数、{\displaystyle N_{-} } は下向きスピン の電子数です。

また、{\displaystyle N_{+} + N_{-} = N } です。

この磁化が問題ですが、H=０のときは{\displaystyle N_{+} と N_{-} } は同じ数なのでM=0 になります。一方、H ＞０のときは上向きにスピンがそろいやすいので、{\displaystyle \epsilon_{f} } に近いエネルギー準位の下向きスピンをもつ電子が上向きスピンの向きを変えます。しかし、エネルギーが{\displaystyle \epsilon_{f} } までしか入れないため、上向きスピンは増えた分だけエネルギー固有値を下げます。下向きスピンは減った分だけエネルギー固有値を上げます。そして、上向きスピンの方が数が多くなります。この増減幅は{\displaystyle ±\mu_{0}H } なので{\displaystyle N_{+} と N_{-} } はそれぞれ

{\displaystyle N_{+} = \int_{0}^{\infty} d\epsilon \nu(\epsilon + \mu_{0}H) f(\epsilon) }

{\displaystyle N_{-} = \int_{0}^{\infty} d\epsilon \nu(\epsilon - \mu_{0}H) f(\epsilon) }

ここで積分の下限が０なのは{\displaystyle \mu_{0}H } が無限に比べ十分小さいからです。

Mは

{\displaystyle M = \frac{\mu_{0}}{L} \int_{0}^{\infty} d\epsilon (\nu(\epsilon + \mu_{B}H) - \nu(\epsilon - \mu_{0}H))f(\epsilon) }

{\displaystyle =\frac{2{\mu_{0}}^{2}H}{L} \int_{0}^{\infty} \frac{d\nu}{d\epsilon}f(\epsilon) }

磁化率χは

{\displaystyle \chi = \frac{\partial{M}}{\partial{H}}|_{H=0} = 2{\mu_{0}}^{2}\int_{0}^{\infty} \frac{d\nu}{d\epsilon}f(\epsilon) }

より現実的なχを得るために低温展開(ゾンマーフェルト展開)すると

{\displaystyle \chi \simeq 2{\mu_{0}}^{2}\nu(\epsilon_{f}) + \frac{{\pi}^{2}(\mu_{0})^{2}}{3}(\nu''(\epsilon_{f}) - \frac{(\nu'(\epsilon_{f}))^{2}}{D(\epsilon_{f})})(kT)^{2} }

よって

{\displaystyle \chi \simeq 2{\mu_{0}}^{2}\nu(\epsilon_{f}) }

磁化率の温度依存性があまりないことがわかります。この磁化率をパウリの常磁性磁化率といいます。

 

長い…間違いがあったら教えてくれると喜びます。